Кто оплачивает долги в съемной квартире?

У вас есть заключенный договор найма со сроком действия договора.
вот обязательства по этому договору вы и должны исполнять- платить за наем и пр.. уст. в договором (комм. услуги ?).
при этом вы можете и не жить в квартире.
что за "съезжать" - непонятно.
обязаны платить по договору весь срок действия договора.
не будете платить, наймодатель может взыскать с вас долг по дог. реш. суда с процентами.
поэтому если речь о досрочном расторжении договора найма по инициативе нанимателя, то делать это в установл. порядке- соглашением сторон с предварител. надлеж. уведомлением наймодателя о намерении расторгнуть договор.
и квартиру надо передать по акту наймодателю или его доверенному лицу, и подписать акт об исполнении сторонами обязательств.