Имеет ли право гаишник снимать на свой сотовый телефон нарушения?

Конечно, тем более, если нарушитель предлагает взятку или оскорбляет инспектора. это называется видеофиксация, и данная запись может быть использована в суде как доказательство (не нарушения пдд, а именно факта дачи взятки или оскорбления).