У нас в магазине стоит компьютер и в качестве фоновой музыки в помещении используется онлайн яндекс музыка.

Не пишите ерунды . по вопросу "ничего не скачиваем" - таки скачиваете. ваш компьютер скачивает звуковой потоковый файл и воспроизводит его. при желании части этого файла можно даже найти в компьютере. по вопросу авторских прав. вы скачиваете и воспроизводите не какой то альбом какого то исполнителя, а трансляцию. разницы нет, вещает радиостанция, или интернет радиостанция. все права на трансляцию у них есть, или должны быть. в любом случае в ответе будут хозяева (авторы) онлайн трансляции. будет смешно, если вас захотят оштрафовать за то, что вы включили у себя в офисе радио "маяк". это то же самое.