Юристы прошу вашей помощи！

Нет никаких "коммунальных выплат".
в договоре найма написано что вы должны платить.
изучите свой договор найма.
-------
кроме того, вот что вы должны платить по жк рф:
жк рф, статья 154. структура платы за жилое помещение и коммунальные услуги
1. плата за жилое помещение и коммунальные услуги для нанимателя жилого помещения, занимаемого по договору социального найма или договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда, включает в себя:
1) плату за пользование жилым помещением (плата за наем);
2) плату за содержание жилого помещения, включающую в себя плату за услуги, работы по управлению многоквартирным домом, за содержание и текущий ремонт общего имущества в многоквартирном доме, а также за холодную воду, горячую воду, электрическую энергию, потребляемые при использовании и содержании общего имущества в многоквартирном доме, за отведение сточных вод в целях содержания общего имущества в многоквартирном доме (далее также - коммунальные ресурсы, потребляемые при использовании и содержании общего имущества в многоквартирном доме). капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме проводится за счет собственника жилищного фонда;
3) плату за коммунальные услуги.
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_law_51057/e589ad61e7bf786790619ac5fb65e50cfa8dfb58/
----------
что касается возникновения обязанности, то
по п. 3 ч. 1 ст. 153 жк рф
обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у нанимателя жилого помещения по договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения такого договора.
соотв. см. на дату заключения договора. вот с этой даты и возникла обязнность у вас, с нее должны были насчитать. не имеет значения, когда именно вы получили ключи и вселились фактически.
в уведомлении все написано: за какой период, по каким позициям сколько, исходя из тарифов.
научитесь читать платежное уведомление.