Могу ли я подать в суд на заводчицу, которая продала мне лишайного котенка?

Подать всегда можно.

сделки между гражданами на сумму более 10 000 р. должны совершаться в письменной форме. при этом если иное не установлено соглашением сторон (никто из вас не настаивал на письменном договоре) , могут совершаться устно все сделки, исполняемые при самом их совершении (ваша сделка была исполнена при совершении - продавец передал товар, покупатель на месте оплатил) , за исключением сделок, для которых установлена нотариальная форма, и сделок, несоблюдение простой письменной формы которых влечет их недействительность (для купли-продажи движимой вещи - котенка не установлена ни нотариальная форма, ни последствие в виде недействительности в случае отсутствия письменной формы) .

следовательно договор вы заключили, но в устной форме.

но так как сделка была заключена в устной форме, возникает некая трудность в доказывании ее содержания и условий.

при этом, в случае продажи товара с недостатками, если недостатки товара не были оговорены продавцом, покупатель, которому передан товар ненадлежащего качества, вправе потребовать от продавца возмещения своих расходов на устранение недостатков товара (то есть ваши требования) .

однако продавец отвечает за недостатки товара, если покупатель докажет, что недостатки товара возникли до его передачи покупателю или по причинам, возникшим до этого момента.

то есть опять, так как сделка была заключена в устной форме, возникает некая трудность в доказывании того, что заболевание котенка возникло до передачи его вам.