Можно ли получить с магазина компенсацию за причиненный моральный вред, не подавая в суд?

Зря платили.
согласно ст. 18 закона "о защите прав потребителей", экспертиза проводится продавцом или организуется им, в свою очередь вы имеете право требовать присутствовать на этой экспертизе. обжаловать результат экспертизы можно в суде.