Как провести независимую экспертизу телефона приобретенного в Связном. какие документы надо собрать?

А вам зачем за свой счет проводить экспертизу? Поскольку, при действующем гарантийном сроке, проведение экспертизы (в случае спора о причине возникновения недостатка) - обязанность продавца. Если проведете сами, продавец не будет обязан возмещать вам эти расходы (разве что, с его письменного согласия, либо при наличии письменного отказа продавца в удовлетворении вашего требования, или по истечение гарантийного срока). Ну а в целом, обращаетесь в какую-нить экспертную организацию (посмотрите образцы заключений, чем солиднее выглядит заключение визуально, тем убедительнее, как один из моментов). В зависимости от характера недостатка, заключаете договор на устную консультацию (чтобы зря не тратиться, вдруг эксперт визуально определит, что недостаток возник по вашей вине), либо на проведение комплекса мероприятий, связанных с выявлением причины возникновения недостатка. После, если заключение будет в вашу пользу, то топаете с его копией к продавцу вместе со своим письменным основным требованием (а также требованием возмещения убытков) и товаром.