Если на товар установлен срок годности, а гарантийного срока нет, то мне придется доказывать, не продавцу, что в товаре

Да, это так.
в соответствии с п. 1 ст. 476 гк рф, ч. 6 ст. 18 зозпп рф - продавец (изготовитель), уполномоченная организация или уполномоченный индивидуальный предприниматель, импортер отвечает за недостатки товара, на который не установлен гарантийный срок, если потребитель докажет, что они возникли до передачи товара потребителю или по причинам, возникшим до этого момента.